Une Longue Histoire
Platon a donné l'icosaèdre à l'eau : le plus de faces, le plus rond, celui qui coule. Euclide le construit en dernier au livre XIII des Éléments, puis démontre qu'un sixième solide régulier ne peut pas exister : le livre de mathématiques le plus influent jamais écrit s'achève sur cette forme. L'Égypte des Ptolémées la taillait déjà dans la pierre : des dés à vingt faces, lettrés en grec, aujourd'hui au Met.
SourcePlato, Timaeus (c. 360 BC) · Encyclopaedia Britannica — britannica.com · Euclid, Elements, Book XIII · Mathematical Association of America, Convergence — maa.org · The Metropolitan Museum of Art, 10.130.1158 — metmuseum.org
La Science En Action
Douze sommets, trente arêtes, vingt faces triangulaires : 12 − 30 + 20 = 2, la relation d'Euler, vraie pour les cinq • Dual du dodécaèdre — vingt faces et douze sommets contre douze faces et vingt sommets • Cinq triangles se rejoignent à chaque sommet, et cinq est la limite — six seraient à plat, rien ne se ferme • Cette seule contrainte arrête la liste des solides réguliers à cinq. Kepler a dessiné celui-ci rempli d'eau
SourceEncyclopaedia Britannica, “polyhedron” · Euclid, Elements, Book XIII · Mathematical Association of America, Convergence — maa.org · Johannes Kepler, Harmonices Mundi (1619), Book II
Les Arts
Pour le livre de Pacioli, en 1509, Léonard dessine chaque solide deux fois — plein, puis évidé. L'icosaèdre évidé : trente arêtes en rubans, en perspective, la face arrière visible à travers la face avant. Ce modèle garde son idée : évidé, construit autour d'un seul cœur, la forme portée par ses arêtes.
SourceLuca Pacioli, De divina proportione (Venice, 1509), plate XXII by Leonardo da Vinci · MAA Convergence, “Mathematical Treasure: Luca Pacioli's Divina Proportione”
Aujourd'Hui
En 1962, Caspar et Klug ont compris pourquoi tant de virus sont icosaédriques : c'est la manière la plus économique de fermer une coque avec de nombreuses copies d'une seule protéine. Un virus porte trop peu d'information génétique pour décrire plus compliqué. Leur modèle venait de l'architecture : les dômes géodésiques de Buckminster Fuller, un icosaèdre découpé en petits triangles.
SourceCaspar & Klug (1962), Cold Spring Harbor Symposia · PNAS, “Origin of icosahedral symmetry in viruses” — pnas.org · International Union of Crystallography Newsletter, “Viruses and geodesic domes” — iucr.org · Library of Congress, Carol M. Highsmith Archive
Vingt faces, et pas de place pour une vingt et unième. La liste des solides parfaits s'arrête ici.
Twenty-sided die (icosahedron) with faces inscribed with Greek letters — Unknown maker, Egypt — ca. 2nd century BCE–4th century CE (Ptolemaic Period–Roman Period) — The Metropolitan Museum of Art, New York — Gift of Helen Miller Gould, 1910; serpentinite, H. 3.2 cm — 10.130.1158 (objectID 551072)
